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【算術漫談】八卦中不可思議的數字規律

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(維基)

 在清朝時,有位傳教士將伏羲六十四卦方圓圖,寄給德國數學家萊布尼茲看,萊布尼茲發現,他所發明的二進制竟然在更古老的時候,就被東方的聖人所認識。

起八卦,對中國人來說,實在是太熟悉了,歷代的數術文化都在運用八卦演易。

在古代,人們一直是將八卦配上數字使用,常見的有先天八卦卦序數,將八卦映射到從一開始的八個數;也有後天八卦配上洛書九宮數,這個映射多了點內容,因為八卦配九數,那要求有個卦要對應兩個數字。

有個非常實際的例子,我們搜索正見網針灸類文章,有一篇《中醫基礎:靈龜八法》,這篇文章講的就是後天八卦配上洛書九數,結果在針灸中有著奇妙的運用。

和所有的中國數術文化一樣,八卦同樣只運用九數,沒有複雜的計算,更談不上近代的西方數學。

那麼,八卦在西方數學眼中會是甚麼樣的呢?不用太多的例子,我們只蒐集兩個非常有趣的數字規律,涉及的數學內容,在西方文化中都是極具典範意義的。

規律之一:二進制與陰陽爻

西方人,萊布尼茲發明了二進制,這個方法只用0和1兩個數碼表示數。比如,六十四表示為1000000,三十二表示為100000。對今天的人來說,這是電腦數學。

萊布尼茲的時代,正是中國的清朝。那時候,有個傳教士在中國,給萊布尼茲寫了封信,信裏面畫了伏羲六十四卦方圓圖。

萊布尼茲看了後,得出的看法是,他所發明的二進制竟然在更古老的時候,就被東方的聖人所認識。

具體的內容,看上去很簡單,將陽爻換成1,陰爻換成0,那麼八卦就成了二進制表示數。按照這個辦法,結果就將自下而上的卦爻轉換成了自左至右的數字。

乾卦,表示111;兌卦,表示110;

  離卦,表示101;震卦,表示100;

  巽卦,表示011;坎卦,表示010;

  艮卦,表示001;坤卦,表示000。

這樣,八卦就演變成了二進制中全部的三位數。類似的,六爻卦有六十四個,正好表示了二進制中全部的六位數。

萊布尼茲的這個發現非同小可,他甚至說:「現在如有一聖人欲選擇一優秀民族,加以獎勵,那麼,他的金蘋果的賜與,一定會落到中國人的身上。」

規律之二:八周期與黃金比

在西方歷史上,人們很早就認識了黃金比,近似的數值是0.618。這個數字經常出現在一些藝術作品中。黃金比的準確數值,是個不循環的無限小數,可以有分數來近似的表示。

和黃金比相關的是一個著名的數列:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765……

這個數列可以無止境的寫下去,規律是相鄰的兩個數,其和正好是緊接在後面的一個數。

  0+1=1;1+1=2;1+2=3;2+3=5;……

這個數列被稱作斐波那契數列,任取相鄰的兩個數,前一個與後一個的比值可以近似的表示黃金比,而且越靠後,越接近黃金比的真實值。

實際演算正是如此:

1/2=0.5;3/5=0.6;8/13=0.61538……;

89/144=0.618055……;

987/1597=0.618033……;

黃金比=0.618033……。

非常有趣的是,這個數列竟然可以和八卦溝通上。在「規律之一」的基礎上,將每個卦的陰爻數目(或陽爻數目)羅列出來。實際上,相當於統計那些三位數中0與1的個數。

       乾卦,表示111,陽爻三,陰爻零;

       兌卦,表示110,陽爻二,陰爻一;

  離卦,表示101,陽爻二,陰爻一;

  震卦,表示100,陽爻一,陰爻二;

  巽卦,表示011,陽爻二,陰爻一;

  坎卦,表示010,陽爻一,陰爻二;

  艮卦,表示001,陽爻一,陰爻二;

  坤卦,表示000,陽爻零,陰爻三。

按照先天八卦的順序,從乾卦開始,反時針方向排列八卦,順序如下:乾卦、兌卦、離卦、震卦、坤卦、艮卦、坎卦、巽卦,巽卦過了回到乾卦,如此構成環狀排列。

現在,可以寫出八卦和上面數列的對照表了。

  乾卦,表示111,陰爻零,0,21,987

  兌卦,表示110,陰爻一,1,34,1597

  離卦,表示101,陰爻一,1,55,2584

  震卦,表示100,陰爻二,2,89,4181

  坤卦,表示000,陰爻三,3,144,6765

  艮卦,表示001,陰爻二,5,233,……

  坎卦,表示010,陰爻二,8,377,……

  巽卦,表示011,陰爻一,13,610,……

這張表的要點在於,每行寫入的數,除以3的餘數,正好是該行卦中陰爻的數目。其中陰爻為零和陰爻為三,在同餘意義下等效,都表示該行的數正好是3的倍數。

八卦是東方人得天獨厚的文化,站在西方數學角度來看,竟然也是如此有趣。◇

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